BASIS DAN DIMENSI (2)
D) Membangun ruang vektor
Jika u1,u2,…,un adalah vektor-vektor pada ruang vektor V, dan jika setiap vektor X pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1,u2,…,un maka u1,u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V.
CONTOH :
Apakah, u = [1, 2, -1]T , v = [-2, 3, 3]T, w = [1, 1, 2]T membangun R3
JAWAB :
Andaikan X = [X1, X2, X3]T vektor di R3. Bentuk kombinasi linier, X=K1u+K2v+K3w
[X1, X2, X3]T = K1[1, 2, -1]T + K2[-2, 3, 3]T + K3[1, 1, 2]T
Dari kesamaan vektor dihasilkan system persamaan linier.
K1 - 2K2 + K3 = X1
2K1 + 3K2 + K3 = X2
-K1 + 3K2 + 2K3 = X3
u , v, w Membangun R3
E) Kebebasan linier
Andaikan S = {u1, u2, …, un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi liner : K1u1 + K2u2 + … + Knun = 0
Penyelesaiannya adalah trival yakni K1 = 0, K2 = 0, …, Kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trival), maka S dikatakan tak bebas linier.
CONTOH :
Himpunan vektor, S = {u1, u2, …, un}
u1 = [2, -1, 3]T , u2 = [1, 2, -6]T, u3 = [10, 5, -15]T adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3
CONTOH :
Himpunan vektor S = {u1, u2, …, un}, dimana :
u1 = [1, -1, 2]T , u2 = [-2, 3, 1]T, u3 = [2, 1, 3]T adalah vektor bebas linier, K1u1 + K2u2 + K3u3 = 0, ekuivalen,
K1 - 2K2 + 2K3 = 0
-K1 + 3K2 + K3 = 0
2K1 + K2 + 3K3 = 0
u1, u2, u3 bebas linier
