BASIS DAN DIMENSI (1)

      A) Ruang -N EUCLIDES 

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (X₁,X₂,…,X_n). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang n-Eucides dan dinyatakan dengan Rⁿ.

Definisi , misalkan : u =[u₁,u₂,…,u_n], dan v =[ v₁,v₂,…,v_n]. Vektor di Rⁿ. 

·         u = v jika hanya, jika u₁ = v₁, u₂ = v₂,…, u_n = v_n.

·         u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂ ,…, u_n + v_n].

·         Ku = [Ku₁, Ku₂, …, Ku_n].

·         u*v = u₁.v₁ + u₂.v₂ + … + u_n.v_n

·         | u | = (u*u)^1/2 = √u²₁ + u²₂ +…+ u²_n

 

        B)  Ruang vektor 

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :

1)      Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + vjuga berada di V.

2)      u + v = v + u

3)      u + (v + w) = (u + v) + w

4)      ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0 + u = u +0

5)      untuk setiap u di V terdapat -u di V sehingga u + (-u) = -u + u = 0

6)      jika K skalar dan u di V, maka Ku berada di V

7)      K(u + v) = Ku + Kv

8)      (K + l) u = Ku + lu

9)      K(lu) = (Kl) u

10)  1u = u

 

            C) Kombinasi linier 

Sebuah vektor X dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u₁,u₂,…,u_n. Jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

X = K₁u₁ + K₂u₂ + … + K_nu_n. Dimana K₁, K₂,…,K_n adalah skalar.

CONTOH :

u = [2, -1, 3]^T Dan v = [1, 2, -2]^T

Apakah X = [8, 1, 5]^T kombinasi linier dari u dan v?

JAWAB :

Perhatikan kombinasi linier X = K₁u + K₂v

[8, 1, 5]^T = K₁[2, -1, 3]^T + K₂[1, 2, -2]

Dari kesamaan vektor diperoleh :

2K₁ + K₂ = 8

-K₁ + 2K₂ = 1

3K₁ - 2K₂ = 5

 

4K₂ = 8

  K₂ = 8/2

  K₂ = 2

 

K₁ - 2K₂ = -1

K₁ – 2.(2) = -1

K₁ – 4 = -1

K₁  = -1 + 4

K₁ = 3