Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

RUANG BARIS, RUANG KOLOM, DAN RUANG NULL

Definis

Misalkan matriks m x n :

# Vektor-Vektor

r₁ = [a₁₁ a₁₂ … a_1n]

r₂ = [a₂₁ a₂₂ … a_2n]

r_m = [a_m1 a_m2 … a_mn]

pada Rⁿ yang dibentuk dari baris-baris matriks A disebut sebagai Vektor Baris.

# Sedangkan Vektor-Vektor

pada R^m yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A disebut sebagai Vektor Kolom.

Definisi

Jika A adalah matriks m x n maka sebruang dari Rⁿ yang direntang oleh Vektor-Vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dari R^m yang direntang oleh Vektor-Vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A.Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari Rⁿ disebut ruang null dari A.

Teorema

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang ekulvalen baris, maka:

a). Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari A tertentu adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang bersesuaian dari B adalah bebas linier.

b). Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari A tertentu membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang bersesuaian dari B membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B.

Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R dan vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R .

Teorema

Jika A adalah matriks sembarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki yang sama.

Definisi

Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank dari A (notasi : rank (A)) ; dimensi ruang null dari A disebut sebagai nulitas dari A (notasi : nulitas (A)).

Teorema

Jika A adalah matriks dengan n kolom, maka :

Rank (A) + nulitas (A) = n

Null (A) = n – rank (A)

CONTOH :

Misalkan matriks :