Ruang Hasil Kali Dalam

RUANG HASIL KALI DALAM

Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor Rill V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan Rill [U,V] dengan masing-masing pasangan vektor U dan V pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini:

· [U,V] = [V,U] (aksioma simetri)

· [U+V,W] = [U,W] + [V,W] (aksioma penambahan)

· [KU,V] = K[U,V] (aksioma kehomogenan)

· [U,U] ≥ 0 dan [U,U] = 0 ↔ U= 0 (aksioma kepositifan)

CONTOH:

Jika U = [U₁,U₂,…,U_n], dan V = [V₁,V₂,…,V_n] adalah vektor-vektor pada Rⁿ, maka:

[U,V] = U*V = U₁V₁ + U₂V₂ + … + U_nV_n

Adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rⁿ. Dan U dan V dikatakan ortogonal jika [U,V] = 0. Jika U ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka U dikatakan ortogonal terhadap V.

BASIS ORTONORMAL

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal.

CONTOH:

S = {U₁,U₂,U₃} dengan U₁ = [1,2,1], U₂ = [1,-1,1], dan U₃ = [1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R³, karena [U₁,U₂] = [U₁,U₃] = [U₂,U₃] = 0.

CATATAN:

· Jika S = {U₁,U₂,…,U_n} adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika X sembarang vektor di V, maka:

X = [X,U₁] U₁+ [X,U₂] U₂+ … + [X,U_n] U_n

· Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {U₁,U₂,…,U_n} himpunan ortonormal jika W ruang yang dibangun oleh U₁,U₂,…,U_n maka setiap vektor X dalam V dapat dinyatakan dengan X = V + W dimana:

V = [V,U₁] U₁+ [V,U₂] U₂+ … + [V,U_n] U_n

PROSES GRAM-SCHMIDT

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah baris ortonormal.

Misalkan S = {U₁,U₂,…,U_n} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma untuk menentukan ortonormal B = {V₁,V₂,…,V_n} untuk V adalah :