Sistem persamaan linier (SPL)

Sistem persamaan linier (SPL)

1    1.  Pengertian sistem persamaan linier

Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan variable yang tidak diketahui:

X₁, X₂, X₃,…, X_n yang dinyatakan dalam bentuk :

a₁X₁ + a₂X₂ + … + a_nX_n = b₁ dimana a₁, a₂, … , a_n dan b adalah konstanta real (kompleks). Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis.

CONTOH :

Persamaan linier : 

1)      2x₁ + 4x₂ = 10 

2)      2x₁ – 4x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 5
Persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel  yang tidak diketahui yang berbentuk :

a₁₁X₁₁ + a₁₂X₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁X₁ + a₂₂X₂ + … + a_2nX_n = b₂

a₃₁X₁ + a₃₂X₂ + … + a_3nX_n = b₃

a₄₁X₁ + a₄₂X₂ + … + a_4nX_n = b₄

…………………………………

A_m1X₁ + a_m2X₂ + … + a_mnX_n = b_m , dimana X₁, X₂, X₃,…, X_n disebut variable yang tidak diketahui, a_ij konstanta koefisien sisitem persamaan linier dan b_j konstanta yang diketahui. 

2. Bentuk matrik SPL  

SPL, AX = B dibagi menjadi : 

a)       SPL homogen, jika koefisien matrik B = 0. 

b)      SPL non homogen, jika terdapat koefisien matrik B tak              nol. 

 

CONTOH : 

SPL non homogen :                                

2x₁ + 3x₂ + 4x₃  = 4

2x₂ - 3x₃ + 2x₄  = 2

x₁ + 2x₃ + 3x₄ = 5

3x₁ + x₂ - 3x₄  = 6 

3. Konsistensi SPL 

Perhatikan contoh berikut :

 

v  Kasus 1. SPL berbentuk :

X + 2Y = 10

X – Y = 4

Dalam bentuk grafik solusinya adalah :

SPL konsisten, solusi tunggal, X = 6, Y = 2.

v  Kasus 2. SPL berbentuk : 

X + 2Y = 4

2X + 4Y = 8

SPL konsisten, solusi membuat parameter, yaitu Y = t dan X = 4-2t

v  Kasus 3. SPL berbentuk :  

X + 2Y = 4 

X + 2Y = 8

Dalam grafik adalah : 

SPL tidak konsisten, tidak ada solusi.   

4. Metode solusi SPL

§  Metode eliminasi gouss.

§  Metode eliminasi gouss Jordan.

§  Metode crammer.

§  Metode invers matrik.

§  Metode dokomposisi matrik.

§  Metode gouss seidel.

§  Metode jacobi.

§  Metode numerik. Solusi dengan program koomputer

CONTOH: 

Tidak konsisten 

tentukanlah solusi SPL jika ada 

x₁ - 2x₂ + 2x₃  = 5

2x₁ - 3x₂ + x₃  = 8

x₁ - 3x₂ + 5x₂ = 10

JAWAB :

Matrik lengkap SPL :

Operasi elementer baris   

CONTOH :

Carilah solusi SPL berikut dengan metode crammer :

2x₁ + 4x₂ + 3x₂  = 16

3x₁ + 5x₂ + 2x₃  = 12

4x₁ + 6x₂ + 3x₃ = 12

JAWAB :

Bentuk matrik SPL, AX = B adalah :