Aljabar linier

RUANG HASIL KALI DALAM Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor Rill V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan Rill [U,V] dengan masing-masing pasangan vektor U dan V pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini: ·          [U,V] = [V,U]                                                  (aksioma simetri)   ·          [U+V,W] = [U,W] + [V,W]                    (aksioma penambahan)   ·          [KU,V] = K[U,V]                                (aksioma kehomogenan)   ·       [U,U] ≥ 0 dan [U,U] = 0 ↔  U= 0                    (aksioma kepositifan) CONTOH: Jika U = [U 1 ,U 2 ,…,U n ], dan V = [V 1 ,V 2 ,…,V n ] adalah vektor-vektor pada R n , maka: [U,V] = U*V = U 1 V 1 + U 2 V 2 + … + U n V n Adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides R n . Dan U dan V dikatakan ortogonal jika [U,V] = 0. Jika U ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka U dikatakan ortogonal terhadap V.   BASIS ORTONORMAL Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali

RUANG BARIS, RUANG KOLOM, DAN RUANG NULL Definis Misalkan matriks m x n : # Vektor-Vektor r 1 = [a 11 a 12   …   a 1n ] r 2 = [a 21 a 22   …   a 2n ] r m = [a m1   a m2   …   a mn ] pada R n yang dibentuk dari baris-baris matriks A disebut sebagai Vektor Baris.   # Sedangkan Vektor-Vektor pada R m yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A disebut sebagai Vektor Kolom.   Definisi Jika A adalah matriks m x n maka sebruang dari R n yang direntang oleh Vektor-Vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dari R m yang direntang oleh Vektor-Vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A . Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari R n disebut ruang null dari A.   Teorema Jika A dan B adalah matriks-matriks yang ekulvalen baris, maka:   a). Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari A tertentu adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang bersesuaian dari B adalah

D) Membangun ruang vektor   Jika  u 1 ,u 2 ,…,u n  adalah vektor-vektor pada ruang vektor V, dan jika setiap vektor X pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u 1 ,u 2 ,…,u n  maka u 1 ,u 2 ,…,u n  dikatakan membangun ruang vektor V. CONTOH : Apakah, u = [1, 2, -1] T  , v = [-2, 3, 3] T , w = [1, 1, 2] T  membangun R 3 JAWAB : Andaikan X = [X 1 , X 2 , X 3 ] T  vektor di R 3 . Bentuk kombinasi linier, X=K 1 u+K 2 v+K 3 w [X 1 , X 2 , X 3 ] T  = K 1 [1, 2, -1] T  + K 2 [-2, 3, 3] T  + K 3 [1, 1, 2] T Dari kesamaan vektor dihasilkan system persamaan linier. K 1  - 2K 2  + K 3   = X 1 2K 1  + 3K 2  + K 3  = X 2 -K 1  + 3K 2  + 2K 3  = X 3   u , v, w Membangun R 3                    E) Kebebasan linier   Andaikan S = {u 1 , u 2 , …, u n } adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi liner :  K 1 u 1  + K 2 u 2  + … + K n u n  = 0 Penyelesaiannya adalah trival yakni K 1  = 0, K 2  = 0, …, K n  = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trival), maka S di

       A) Ruang -N EUCLIDES   Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (X 1 ,X 2 ,…,X n ). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang n-Eucides dan dinyatakan dengan R n . Definisi , misalkan : u =[u 1 ,u 2 ,…,u n ], dan v =[ v 1 ,v 2 ,…,v n ]. Vektor di R n .   ·          u = v jika hanya, jika u 1 = v 1 , u 2 = v 2 ,…, u n = v n . ·          u + v = [u 1 + v 1 , u 2 + v 2 ,…, u n + v n ]. ·          Ku = [Ku 1 , Ku 2 , …, Ku n ]. ·          u*v = u 1 .v 1 + u 2 .v 2 + … + u n .v n ·          | u | = (u*u) 1/2 = √u 2 1 + u 2 2 +…+ u 2 n           B)  Ruang vektor   Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi : 1)       Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + vjuga berada di V. 2)       u + v = v + u 3)       u + (v + w) = (u + v) + w 4)       ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0 + u = u +0 5)       untuk setiap